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1 million de dollars à gagner pour chacun des 7 problèmes du millénaire

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1 million de dollars à gagner pour chacun des 7 problèmes du millénaire

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Prix pour résoudre les 7 problèmes du millénaire

L’institut de mathématiques London Clay propose de résoudre chacun des 7 problèmes du millénaire, correspondant à des hypothèses et des conjectures mathématiques récentes. Depuis 2000; ces prix ont été mis en place afin de récompenser les meilleurs mathématiciens. Il est possible d’y participer en groupe ou individuellement. Le prix est d’une valeur d’1 million de dollars américains pour chaque problème résolu.

1.     L’hypothèse de Riemann

Il s’agit d’une conjecture liée à la fonction zêta du mathématicien allemand Bernhard Riemann. C’est une fonction analytique complexe affirmant que les zéros non triviaux ont tous pour partie réelle 1/2.

D’après cette hypothèse, les nombres premiers sont donc répartis suivant la position des zéros complexes. Riemann a mentionné pour la première fois sa conjecture dans l’édition de novembre 1859 des « Rapports mensuels de l’Académie de Berlin ».

Il l’a développé dans un article de 8 pages intitulé « Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse » ou « Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donné ».

L’hypothèse de Riemann n’a pas encore été démontrée, d’où la décision de l’institut Clay de la choisir comme l’un des 7 problèmes du millénaire. La recherche de solution liée à cette proposition contribuerait à avoir plus de connaissance sur la répartition des nombres premiers.

2.     La conjecture de Poincaré

La conjecture de Poincaré dérive des recherches centrées sur la pensée algébrique. Il s’agit d’une variété particulière homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. D’après le mathématicien français Henri Poincaré, un objet topologique 3D est pareil à une sphère tridimensionnelle de mêmes caractéristiques, mais vus différemment.

Le mathématicien russe Grigori Iakovlevitch Perelman a déjà résolu cette conjoncture de Poincaré en 2003, mais il a refusé tous les prix et primes y afférents à l’époque. Le prix du millénaire requiert encore la démonstration de cette conjoncture de la variété compacte V qui établirait la classification complète des variétés en 3 dimensions.

3.     La conjecture de Hodge

La conjecture de Hodge appartient à la géométrie algébrique et compte parmi les 7 problèmes du millénaire. Elle soutient la possibilité de faire tout calcul de la cohomologie d’une variété algébrique à partir des sous-variétés. C’est une hypothèse du mathématicien écossais William Vallance Douglas Hodge énoncée entre 1930 et 1940.

Afin d’encourager les recherches mathématiques sur les variétés différentielles, l’institut Clay discerne le prix du millénaire à toute personne ou groupe de personnes capables de faire la démonstration de cette conjecture de Hodge.

Il s’agit de prouver le lien topologique entre une variété algébrique projective complexe et la géométrie révélée par les équations de ses sous-variétés.

4.     Le problème P = NP

Le problème P=NP est la première grande énigme des sciences mathématiques actuelles. C’est une conjecture affirmant qu’il est relativement plus rapide de résoudre un problème que de vérifier si la solution apportée est adéquate.

P et NP étant 2 classes de complexité évoquant un problème de décision à résoudre en un temps polynomial, N par un déterministe et NP par un non-déterministe. La démonstration de P=NP servirait à résoudre théoriquement de nombreux problèmes du millénaire.

5.     La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Birch et Peter Swinnerton-Dyer sont deux mathématiciens britanniques. Ils ont établis l’un des 7 problèmes du millénaires, celui-ci étant particulièrement difficile à résoudre. Celui-ci tend à annuler la fonction L en s=1 aux courbes elliptiques, si c’était uniquement possible avec les courbes ayant une multiplication complexe. L’ordre d’annulation en 1 de la fonction est donc égal au rang de la courbe elliptique.

Cette conjecture est innovante et le problème est encore ouvert, d’où sa sélection parmi les 7 problèmes du prix du millénaire.

6.     Les équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes ont été proposées par l’ingénieur français Henri Navier et le physicien britannique Georges Gabriel Stokes. Elles font partie du domaine de la mécanique des fluides dans le but d’expliquer la dynamique des fluides newtoniens. Il s’agit d’équations aux dérivées partielles non linéaires qui n’ont jamais bénéficié d’une résolution mathématique rigoureuse.

L’institut Clay l’a considéré comme l’un des problèmes du millénaire afin de pousser les chercheurs à approfondir l’étude sur la modélisation des turbulences et des écoulements.

Le prix d’1 million de dollars y afférent serait décerné à celui ou ceux qui arrivent à prouver la véracité ou non de la présence des champs de vitesse et de pression scalaire constants dans un problème temporel en dimension 3 avec condition de départ prédéfinie.

7.     Les équations de Yang-Mills

Parmi les 7 problèmes du millénaire, les équations de Yang-Mills sont liées aux deux théories établies par les physiciens Chen Ning Yang et Robert Mills. Ce sont des équations non-linéaires très difficiles à résoudre évoquant une structure géométrique complexe.

Le défi consiste donc à faire deux démonstrations mathématiques : la première permettra de prouver la relation entre la première théorie de Yang-Mills et la notion des champs intégrés de la physique quantique.

La deuxième consistera à confirmer l’existence d’un gap de masse servant à l’observation de particules élémentaires évoquées dans la première théorie sous forme de boules de glu.

Conclusion

Les mathématiciens sont de plus en plus nombreux à vouloir résoudre les 7 problèmes du millénaire surtout en France. L’institut Clay les aide à continuer dans cette bonne voie avec le prix du millénaire.

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